Gerak Dua Dimensi

 

Vektor Posisi dan Perpindahan

Vektor posisi digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah objek pada titik koordinat (bidang xy) tertentu dengan menggunakan konsep vektor, 

\(\mathbf{r}=x\widehat{\text{i}}+y\widehat{\text{j}}\)

Vektor perpindahan merupakan perubahan vektor posisi suatu objek yang bergerak dari titik awal ke titik akhir. Vektor perpindahan tidak bergantung terhadap jalur perjalanannya, melainkan bergantung terhadap titik akhir. 

\(\Delta \mathbf{r}={{\mathbf{r}}_{2}}-{{\mathbf{r}}_{1}}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\widehat{\text{i}}+\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)\widehat{\text{j}}=\Delta x\widehat{\text{i}}+\Delta y\widehat{\text{j}}\)

Vektor Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat 

Vektor kecepatan didefinisikan sebagai rasio antara vektor perpindahan dengan interval waktu,

\(\overline{\mathbf{v}}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}\)

Vektor kecepatan sesaat sama dengan turunan vektor posisi terhadap waktu,

\(\mathbf{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\widehat{\text{i}}+\frac{dy}{dt}\widehat{\text{j}}={{v}_{x}}\widehat{\text{i}}+{{v}_{y}}\widehat{\text{j}}\)

Besar dari vektor kecepatan sesaat  \(v=\left| \mathbf{v} \right|\) merupakan kelajuan, yaitu,

\(v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\)

Arah dari vektor kecepatan diberikan oleh sudut, 

\(\theta ={{\tan }^{-1}}\frac{{{v}_{x}}}{{{v}_{y}}}\)

Vektor Percepatan 

Vektor percepatan rata-rata didefinisikan sebagai rasio perubahan vektor kecepatan sesaat dengan interval waktu selama perubahan terjadi,

\(\overline{\mathbf{a}}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}\)

Vektor percepatan sesaat didefinisikan sebagai limit dari rasio perubahan vektor kecepatan sesaat dengan interval waktu, 

\(\mathbf{a}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\)

Dimana komponen-komponen vektor percepatan sesaatnya yaitu, 

\(\begin{matrix} {{a}_{x}}=\frac{d{{v}_{x}}}{dt}, & {{a}_{y}}=\frac{d{{v}_{y}}}{dt} & {} \\ \end{matrix}\)

Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan Konstan

Kasus gerak dengan percepatan konstan dapat diselesaikan menggunakan persamaan kinematika. Dalam dua ataupun tiga dimensi, jika vektor percepatan a memiliki arah dan besar vektor percepatan konstan, maka komponen-komponen vektor ax dan ay juga konstan. 

\(\begin{matrix} \mathbf{v}={{\mathbf{v}}_{0}}+\mathbf{a}t\text{ } & \begin{matrix} \langle & \begin{matrix} {{v}_{x}}={{v}_{0x}}+{{a}_{x}}t \\ {{v}_{y}}={{v}_{0y}}+{{a}_{y}}t \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \mathbf{r}={{\mathbf{r}}_{0}}+{{\mathbf{v}}_{0}}t+\frac{1}{2}\mathbf{a}{{t}^{2}}\text{ } & \begin{matrix} \langle & \begin{matrix} x={{x}_{0}}+{{v}_{0x}}t+\frac{1}{2}{{a}_{x}}{{t}^{2}} \\ y={{y}_{0}}+{{v}_{0y}}t+\frac{1}{2}{{a}_{y}}{{t}^{2}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\)

Gerak Proyektil atau Gerak Parabola

Gerak proyektil merupakan gerak translasi suatu objek yang melalui udara dalam dua dimensi dan memiliki lintasan parabola. 

Gerak Parabola

Komponen-komponen x dan y dari kecepatan awal yaitu, 

\(\begin{matrix} {{v}_{0x}}={{v}_{0}}\text{cos}\theta \text{ } & {{v}_{0y}}={{v}_{0}}\sin \theta \\ \end{matrix}\)

Persamaan kinematika untuk gerak proyektil sebagai berikut, 

Gerak secara Horizon (ax=0=konstan)

\({{v}_{x}}={{v}_{x0}}\)

\(x={{x}_{0}}+{{v}_{x0}}t\)

Gerak secara Vertikal (ay=-g=konstan)

\({{v}_{y}}={{v}_{y0}}-gt\)

\(y={{y}_{0}}+{{v}_{y0}}t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}}\)

Persamaan untuk mencari posisi proyektil yang bergerak dari titik asal (x0,y0=0)

\(\begin{matrix} x={{v}_{0x}}t\text{ } & y={{v}_{0y}}t-\frac{1}{2}g{{t}^{2}} \\ \end{matrix}\)

Jarak atau jangkauan horizontal maksimum proyektil,

\(R=\frac{v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}\)

Tinggi maksimum (vertikal) proyektil 

\(h=\frac{v_{0}^{2}{{\sin }^{2}}\theta }{2g}\)

Gerak Melingkar Beraturan 

Vektor percepatan pada gerak melingkar beraturan selalu tegak lurus lintasan dan selalu menuju ke pusat lingkaran. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal yang besarnya, 

\({{a}_{c}}=\frac{{{v}^{2}}}{r}\)

r adalah jari-jari lingkaran, ac merupakan percepatan sentripetal. Waktu yang dibutuhan objek untuk melakukan satu putaran revolusi dalam gerak melingkar beraturan disebut sebagai periode (T),

\(T\equiv \frac{2\pi r}{v}\)

Percepatan Tangensial dan Percepatan Radial 

Komponen percepatan tangensial menyebabkan perubahan kelajuan suatu objek. 

\({{a}_{t}}=\frac{d\left| \mathbf{v} \right|}{dt}\)

Komponen percepatan radial muncul dari perubahan arah vektor kecepatan,

\({{a}_{r}}=-{{a}_{c}}=-\frac{{{v}^{2}}}{r}\)

Vektor percepatan total dapat dinyatakan sebagai jumlah vektor dari vektor-vektor komponen percepatan tangensial dan percepatan radial,

\(\mathbf{a}={{\mathbf{a}}_{t}}+{{\mathbf{a}}_{r}}=\frac{d\left| \mathbf{v} \right|}{dt}\widehat{\theta }-\frac{{{v}^{2}}}{r}\widehat{r}\)

Kecepatan dan Percepatan Relatif 

Kecepatan suatu objek yang dihitung dari posisi tetap sudut pandang S yaitu,

\(\mathbf{v}'=\mathbf{v}-{{\mathbf{v}}_{0}}\)

Dimana v’ adalah kecepatan objek yang diamati dari sudut pandang S’, dan v adalah kecepatan objek yang diamati dari sudut pandang S, Vo adalah kecepatan S’ relatif terhadap S. 

\(\frac{d}{dt}\mathbf{v}'=\frac{d}{dt}\mathbf{v}-\frac{d}{dt}{{\mathbf{v}}_{0}}\)